Преглед историје и филозофије математике

Милан Божић је несвакидашња личност на нашој интелектуалној сцени. Што се тиче његовог професорског ангажмана - професор логике и историје математике на ПМФ - а он је спроћу ове књиге најбитнији; чуо сам занимљиве приче типа истроши сва слова као симболе, па пита јел знате како изгледа готско А; или да је у кафани потписивао индексе. Имао сам прилике и ја да га сретнем у кафани (ипак, кафићу) у време када ми је био "газда" - председник управног одбора Телеком Србија а.д. У антироману Папа, то је масон има да смо певали неку Џонијеву...

Занимљив је био и његов политичко-аналитички ангажман, јер мало је математичара који знају тако добро са речима. Рецимо, када је рекао да су извесну недељу обележили пОсланици, послАници и посланИци (ко се сећа чувеног заседања Скупштине на Палама, Венс-Овенов план, Милошевићева рампа на Дрини и остали другари), као представници београдске, моравске и прекодринске Србије. Или нешто касније констатације да је природна коалиција перверзија - јер ако се две странке сасвим слажу у свему, зашто то није једна странка, ваљда због лидерских сујета... Доста тога у његовом деловању је потпадало по тај неки искрени макијавелизам (који је и једном Ђинђићу спочитаван), јер сматрало се да је он некакав официр за везу између СПО и ЈУЛ-а... Но, доста о томе, пређимо на ову књигу.

Сходно ономе већ реченом, ову књигу је наравно уживање читати. Доста тога може се видети из фуснота, које показују одређену културну и интелектуалну ширину. Тако ће се у (прекратком, али ускоро ћемо о томе) поглављу о арапској математици, поводом великог покровитеља културе Харуна ал Рашида и чињенице да је калифатом заправо управљао агилни везир, не само сетити Изногуда неко додати да је то заправо Is No Good, ко је аутор тог стрипа и по којим стриповима је још познат. Неке друге упадице знају и да иритирају, рецимо ако се помене Хаг у 'Оландији, по чему нам је познат. Но то је дух тог времена (2002. A.D.). С тим у вези занимљивије је алудирање на "мировне интервенције", уопште нека разочараност западним вредностима, пре свега демократијом - што ћемо видети кад се дотакне Сократа и Платона.

Сву интелектуалну ширину (и корист од ње) видећемо у додатку Преглед историје математике код Срба до половине 20. века када на примеру (физичког) животног пута једног од првих математичара у нас видимо да се кретао у кругу од неких пола километара, све са локацијама тадашње (и садашње) основне школе, Академије Наука, етц. Како заиста стећи бољу слику о размерама интелектуалне елите у Србији тада... А данас бисмо могли закључити да квантитет није нужно прелазио у квалитет и да је, ово је најпозитивније могуће гледање на ствари, Београд сад само мало веће село него онда.

Овде имамо две области које се преплићу у самом наслову - историју и филозофију математике. У том смислу сам Божић ће рећи да се углавном бавио историјом, па кроз то и филозофијом математике, осим када не каже да се бави баш филозофијом. У пракси то значи да је ова књига највише историја филозофије математике, јер нагласак је на историји филозофског (на више места Божић ће рећи идеолошког) развоја. Но књига је у великој мери и Божићева филозофија историје, јер нагласак је дао неким темама према (стиче се утисак) својим преференцијама, које истина аргументује. Овакав став, видећемо, води до извесних недостатака.

На почетку, у делу о праисторији, грешка је Кромањонце сматрати другачијом врстом од људске. Такође су ту неке грешке које би се могле подвести у тадашње ставове (пре само двадесет година!) које данас сматрамо погрешнима, ако нису и онда били "превазиђени". Но то није велики проблем, када сам ја ишао у школу, говорили су нам како су први сисари диносаурусима крали јаја, што је уз неке друге проблеме довело до њиховог изумирања - тада се није знало за удар древног астероида. Свеједно је то поглавље кратко, мада се могло више посветити математичким интуицијама, које ће бити поменуте пред крај књиге. 

Чини се да су неоправдано кратка поглавља о Вавилону и Египту, при чему је предност дата овом првом, а на основу "новијих сазнања". Но и ту има ограда у смислу да су вавилонски натписи били на трајнијем медију (глинене плочице) од египатских - ако нису натписи на зидовима пирамида и других храмова, онда смо имали папирус који није трајан - сличан проблем је и са оним што је остало од Грка, што је Божићу много занимљивије и о чему је опширнији. Овде се могло рећи о неким аспектима који су на страни Египта, било да је реч о техничким (изградња пирамида) или социјалним (премеравање земље после сваке поплаве Нила) аспектима математике. На страни Вавилона је свакако шездесетични систем (напреднији од грчког адитивног) о коме јесте причано, а могло се и више. Уопште, проблем излагања је оно што сам Божић види као проблем - европоцентризам. О томе ће ускоро бити речи, само треба знати да би проблеми могли бити превазиђени да је књига, рецимо дупло, дужа.

Уопште, јасно је да су Божићу примарна два периода (и места радње) - једно је стара Грчка уз хеленизам, друго је период од средине 19. до средине 20. века - када, јасно, доминира западна (европска) цивилизација. Кинеска култура ће ту заслужити помињање, индијска (буквално) мало више од помињања, а неке друге културе, рецимо Америка пре Колумба, неће бити ни поменуте. Но та грешка као да је прекопирана из општих историјских уџбеника. 

А било би занимљиво видети како су рецимо неписмене Инке градиле царство иако неписмени, а уз мнемотехничку помоћ кипуа - бројање и помоћ при опорезивању су улоге математике које Божић иначе описује. Ако је доста тога речено о "позадини" путовања Колумба (које је окончало ове културе) иако је то више примена математике, него математика per se, могло се причати и о овоме. Иначе, видети како је Колумбо поменут у вези рационалности.

Но већи је проблем ако се каже да је нула дошла из Индије, а да се и не помене ни један од индијских математичара, ни у древно ни у савремено време. И то у поглављу о арапској математици које почиње истицањем значења те културе насупрот заблудама европоцентризма (сиц!), а само је недопустиво кратко. Но кратка су и поглавља о европском Средњем веку и Ренесанси... То може имати смисла једино ако знамо да постоји главни правац интересовања, макар он није експлицитно наведен. Па шта је то за Милана Божића најзанимљивије?

У суштини то су три (или две и по) теме, које су међусобно повезане. Можда најважнија је дата као историјска, јер делује да је тема сасвим решена - еманципација математике. Древним цивилизацијама је иста служила као природна наука (или вештина) - чувена Питагорина теорема је постојала као рецепт. Тек код Грка она је доказана, уопште уочава се потреба доказивања, математика се еманципује од спољног света, али постаје везана за филозофију, јер математички објекти постоје како их филозофи виде. Нема много промена све до Имануела Канта, иако уводимо различите врсте бројева и рачуна. За Канта имамо свет феномена (појавних ствари) којима се баве природне науке, а математика је фундаментална природна наука јер се бави основним интуицијама - времена и простора. Тек касније се схвата да математички објекти у сваком случају "постоје" и математика се њима бави, све и ако немају никакве везе са појавним (неки би рекли стварним) светом. Но и то схватање има проблеме, видећемо.

Други проблем је бесконачност. Зенонове апорије нам данас делују сасвим решено (превазиђено?) али он је описао проблем израчунавања бесконачног (инфинитног, инфенитезималног) коначним (финитним) средствима. Ако је некоме занимљиво, ја сам се тим проблемом бавио по питању Бога.

У овој књизи је добро описано како су Грци корен из два сматрали скандалом (мада није речено, на шта сам иначе наилазио, да су питагорејци буквално забранили помињање таквог броја). Онда имамо методе довијања као што је метод ексхаустија, који нису далеко од модерног решења путем лимеса (како је мени изгледало). Тек се са Њутном и Лајбницом развија инфинитезимални рачун (што је у овој књизи, и не само то, описано правим малим детективским заплетом). Али остаје питање шта се заправо рачуна, тако да ће (занимљиво) један енглески свештеник рећи да је калкулус једнако реалан колико је то и религија, те да је реч о вери у исти, односно облику религије.

Паралелно имамо развој нееуклидске геометрије, али она нам разрешава само пети (спорни) Еуклидов аксиом. Здање геометрије (као еуклидске наравно) дато је још код старих Грка, а они нису имали потребу да дефинишу (аксиоматизују) сам број, који им је био интуитивно јасан. И поред касније инвентивности и, на моменте барем, генијалности, стекао сам утисак да је заправо грчка интуиција била филозофски (барем) довољна. А такав утисак имао сам и раније...

Трећи проблем је повезан са претходна два - шта су заправо математички објекти, у принцу бројеви?! Математика може бити еманципована и од (потреба) реалности и од филозофије (онтологије), али остаје нам питање о чему она заправо говори и, битније, може ли бити сасвим заснована? 

После брилијантних доказа и интуиција, од којих ћу поменути само Дедекиндову по којој је реалан број пресек два скупа бројева од којих један укључује њега и све бројеве веће, а други њега и све бројеве мање (али још није постојала теорија скупова!), схватило се да ни скуп природних бројева (од којих бисмо извукли све остале) није добро дефинисан. Још једна брилијантна интуиција била је она по којој сваки природан број представља скуп свих бројева који су мањи од њега.

Од онда је изгледало да ће здање математике бити дефинисано и засновано, да остају само проблеми изнети на великој конвенцији математичара на почетку ХХ века. Управо је на тој, а и на једној филозофској, конвенцији био Расел који је спајао обе области, као можда последњи ренесансни ум. Бертранд Расел и Курт Гедел ће својим парадоксом и теоремом разнети такво аксиоматско знање математике. А обе ствари се заправо надовезују на древни парадокс лажљивца: Ако кажем само "ја лажем" да ли сам рекао истину?!

Одговор на овај проблем дала су нам (свако свој, наравно) три правца математике: логицизам (коме је припадао и сам Расел), формализам (по коме је битна само формална заснованост математике, не и њена примена) и најзад интуиционизам. Према интуиционизму основна људска интуиција је бројање (сад се сетити праисторије и пећинског човека), из које се све извлачи, а ако не може те области математике "жртвујемо". А заправо је та жртва непотребна, ако додамо још један елемент који је и те како постојао код старих Грка. Али претходно мало мојих размишљања.

Наиме, одавно сам ја доказао како "негативни бројеви не постоје", уз нова (за мене) сазнања која укључују ову књигу бићу много прецизнији - негативни бројеви не постоје ван математике или људских конвенција. Математички нам је све јасно, јер постоје решења и сасвим једноставних једначина као што Х + 5 = 2. По конвенцији ће негативни бројеви изражавати дуговање, недостатак (тиме и фрустрацију?), физичке величине којима дајемо супротни предзнак (наелектрисање) или оне које је једноставно изражавати као минус (нешто) - температура испод тачке мржњења воде, што јесте згодно. У суштини негативне величине не постоје ни здраворазумски (ако имаш две јабуке а хоћеш пет, оних три просто немаш) ни физички (маса, температура, па чак ни наелектрисање не могу бити негативни). 

Е сад, додајмо томе да ни рационални бројеви (које су Грци признавали) не постоје "независно" од природних - као и негативни они се могу извести од природних, једнако су пребројиви. Постојање нуле је посебан филозофски проблем, колико и питање да ли ништа постоји. Најзад имамо (позитивне) реалне бројеве који постоје (као резултат мерења), али ту нас је Дедекинд завео својом генијалном интуицијом.

У суштини Грци су сасвим погодили, иако реалне бројеве нису признавали! Они су те бројеве звали величинама и заправо боље су их засновали (кроз геометрију) од (осталих) бројева. Наравно да је згодно и ове величине називати бројеви, али истина се може сасвим лако описати. Постоје само бројеви и величине, односно природни и (позитивни) реални бројеви. Они одговарају основним методама индуктивног (емпиријског) долажења до знања које Гајо Петровић у својој Логици објашњава као бројање и мерење. Дакле, није само бројање основна људска интуиција, него и мерење. Ове интуиције постоје и код (виших?) животиња и Артур Шопенхауер их је описао као разум (док ум приписује само људима који разликују појмове). Дакле, довољно је имати чула и стављати искуства добијена њима у међусобне (простор-временске) односе и онда имамо мерење (а и разум - разум или кама-манас мери). Признајем да је ово дискутабилно... Но прихватањем бројања И мерења као основних интуиција над којима се гради математика (некада само аритметика и геометрија), проблем пред интуиционизмом је практично решен.

Ван ових проблема књига Милана Божића има доста квалитета, посебно у разматрању грчке културе и мисли везаних за стару Грчку, те шта нам је од оригиналних докумената остало (подсетимо се, како је писано на папиру - веома мало). Веома је занимљива таква прича о Еуклидовим Елементима, које су неки камен темељац не само математике него и науке уопште Новог века. Разматрање историчности људи о којима имамо веома мало записа (рецимо Питагора) баца ново светло и на историчност Исуса Христа. 

Средњем веку је посвећено упадљиво (и намерно) мало пажње, па је ту убачена цела тема о календарима, која јесте занимљива. Но могло се поменути и мерење времена на мањој скали (сата), јер у доба Средњег века дошло је до напретка у изради сатова, макар не мислили (погрешно), да је сат измислио српски монах Лазар (у једном клипу о Србима млада странкиња га је назвала Laser) - он је истина правио веома добре велике сатове у Московији.

Но и Ренесанса је веома кратко покривена, а ту је убачен и Фибоначи (као претеча) иако је он живео два века раније. Зато је Колумбо "пребачен" у Барок. Овде је веома занимљив Карданов метод решавања кубне једначине, којим је дискретно (тако рећи неприметно) увео не само реалне него и комплексне бројеве. При свему томе треба имати у виду да су се тадашњи математичари изражавали речима, математичка нотација је била тек у зачетку, па замислите тако изнете доказе! 

Даље се преко преко двобоја математичара (они још нису оружани, мада ни такви нису искључени - да се послужим политичким вокабуларом из деведесетих прошлог века, Божићу би се то ваљда свидело), Барока, проналаска калкулуса и сл, на занимљив начин долази до данашње математике. Општи утисак је да је ова књига одлична, а проблеми би се уз добру вољу и време аутора, могли решити да је она двапут дужа. Но како је то био уџбеник - то се вероватно не би свидело студентима.

Иван Вукадиновић

п.с. додатак се, како сам поменуо, односи на математику код нас. Он се, уз осврт на открића и доприносе српских математичара, углавном своди на историју предавања математике у нас. Све то, наравно, посматрамо у контексту развоја наука, па и културе у Србији претпрошлог века и прве половине прошлог. Додајмо ту и (за оно време) напредне математичке технике у изградњи манастира, које су нажалост уништене, али не од Турака, него приликом реконструкције осамдесетих прошлог века. И овај део би могао бити (дупло?) дужи, да је рецимо убачен Руђер Бошковић. Сетимо се да је Ниче негирао атомизам душе по узору на Руђерово негирање атомизма материје. Наравно, укључивање Бошковића би могло изазвати контраверзе, но оне би биле решене (?) увођењем формулације типа Историја математике у Срба и суседних народа.

пс. пс. Историја математике се код Срба експлицитно, а практично и светски завршава Другим светским ратом. Тако је избегнута практично цела област информатике, примењене статистике, примена статистике на области од метеорологије до психологије, политике... Област је и даље жива и, наравно, укључује данашња разматрања вештачке интелигенције. Нешто пре овог Божићевог уџбеника појавила се одлична књига сер Роџера Пенроуза Царев нови ум, која се бави тим темама (колико је људски ум алгоритамски). Но то је све, рекао бих, предмет неке будуће историје.